2023.11.27 week-11 TA class
Supple10 Q3
Problem
求行列式 $D_{n}$的值（代数表达式）。
$$D_{n} = \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-2} & x_{2}^{n-2} & \dots & x_{n}^{n-2} \\ x_{1}^n & x_{2}^n & \dots & x_{n}^n \end{array} \right| $$
思想：补全缺失的行和列
A simplified example
$$ \begin{vmatrix} 1& 1 & 1 & 1 \\ a& b & c & d \\ a^{2}& b^{2} &c^{2} &d^{2} \\ a^{4}& b^{4} &c^{4} &d^{4} \end{vmatrix}$$
Solution:Construct complete Vandermonde and compare coefficient.
构造完整范德姆行列式并比较（二项式）系数
$$ \det A= \begin{vmatrix} 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\ a& b & c & d &x \\ a^{2}& b^{2} &c^{2} &d^{2} & x^2 \\ a^{3}& b^{3} &c^{3} &d^{3} & x^3 \\ a^{4}& b^{4} &c^{4} &d^{4} & x^4 \end{vmatrix}$$
Now we want to find the minor $M_{25}$ of Matrix A.
Define constant $S = (d-c)(b-d)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)$.
Calculate the Vandermonde determinant and co-factor expansion by column n;
计算范德姆行列式和列 n 的代数余子式
$$\begin{align} |A| & =S(x-d)(x-c)(x-b)(x-a) \\ & =C_{15}+C_{25}x+C_{35}x^{2}+C_{45}x^{3}+C_{55}x^{4} \\ \end{align}$$
Compare the coefficient of x:
比较x的系数
$$C_{25}=(-abc-abd-acd-bcd)S$$
So, the original determinant is
$$M_{25}=-C_{25}=(+abc+abd+acd+bcd)S$$
Solution
$$D_{expansion}=
\begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots& 1 &1\\
x_{1} &x_{2} &\dots &x_{n} &y \\
x_{1}^{2} &x_{2}^{2} &\dots &x_{n}^{2} &y^2 \\
\dots&\dots& &\dots &\dots \\
x_{1}^{n-2} &x_{2}^{n-2} &\dots &x_{n}^{n-2} &y^{n-2} \\
x_{1}^{n-1} &x_{2}^{n-1} &\dots &x_{n}^{n-1} &y^{n-1} \\
x_{1}^n &x_{2}^n &\dots &x_{n}^n &y^{n}
\end{vmatrix}
$$
然后按最后一列展开，我们所需要求的$D_{n}$应该会和 n 行 n+1 列（即补充的行和列，对应 $y^{n-1}$ ）的代数余子式有关，因此只看这一项。
将 $D_{e}$ 算两次即可比较得出 $D_{n}$
第一步，按最后一列展开,只看 $y^{n-1}$
$$ (-1)^{n+(n+1)}D_{n}y^{n-1}=-D_{n}y^{n-1} $$
第二步，根据 Vandermonde Determinant 的性质:
（为了方便书写，我们记 $y=x_{n+1}$ ）
$$ D_{e}=\prod_{1\le j < i \le n+1} (x_{i}-x_{j}) $$
我们想要$y^{n-1}$的系数，于是改写为
$$ D_{e}=\left[ \prod_{1\le j < i \le n} (x_{i}-x_{j}) \right] \left[ \prod_{1\le i \le n} (y-x_{i}) \right] $$
左边方括号为$D_{n}$ ，右边运用二项式定理，得$y^{n-1}$项为
$$ \sum_{i=1}^{n}(-x_i)y^{n-1} $$
比较即得
$$ -D_{n}=\left[ \prod_{1\le j < i \le n} (x_{i}-x_{j}) \right] \left[ \sum_{i=1}^{n}(-x_i) \right] $$
$$ D_{n}=\left[ \prod_{1\le j < i \le n} (x_{i}-x_{j}) \right] \left[ \sum_{i=1}^{n}x_i \right] $$