线代23秋期中试题 zh 发布版
1.(共 15 分，每小题 3 分) 选择题，只有一个选项是正确的.
(1)设为矩阵的零空间的一组基. 下列哪一组向量也是矩阵A的零空间的一组基? (A). (B), (C). (D).
(2)以下说法一定是正确的是？ (A)如果矩阵的列向量线性无关，那么对任意的有唯一的解. (B)任意矩阵的列向量一定是线性相关的. (C)如果矩阵 的列向量线性相关，该矩阵的行向量也线性相关. (D)一个矩阵的行空间和列空间可能具有不同的维数
(A)1.
(B)3.
(C)6.
(D)9.
(4) 以下说法一定是正确的事？
(A) 设为一个可逆矩阵.如果矩阵满足,则和的列空间相同
(B) 设为秩为1的阶的方阵, 则, 其 中 为 正 整 数 为 实 数 .
(C) 如果 为对称矩阵, 则为对称矩阵. 如果矩阵 为一个行满秩矩阵, 那么 只有零解.
(D) 如果矩阵为一个列满秩矩阵，那么只有零解。
设与都为n阶矩阵，A为非零矩阵，且AB=0，则
(1)
(2)
(3)
(4).
2.
(1)记所有实矩阵构成的向量空间为为中所有斜对称矩阵构成的子空间，则
(2)设为两个 可逆矩阵，假设的逆矩阵为，期中O为的零矩阵，则
(3)设 且 ，则
(4)考虑一下线性方程组：
该线性方程组的最小二乘解为
(5)设为如下定义的一个中的子空间
一个和子空间H正交的单位向量为
3.(24 points)考虑以下这个矩阵以及他的简化阶梯形矩阵:
分别求矩阵 的四个基本子空间的一组基向量. 求出矩阵 的第三个列向量.
4.(15 points) 设
当为何值时，矩阵方程无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程，这里的为一个矩阵
5.（15 points）设为所有实矩阵构成的向量空间，设
考虑以下映射
对任意的 实矩阵, 其中 表示阶矩阵的迹.
(a)证明T是一个线性变换
(b)求在的一组基
以及R^3的标准基
下的矩阵表示.
(c)是否可以找到一个矩阵 使得?如果可以,请求出一个符合要求的矩阵. 如果不存在,请说明理由.
6.（6 points）设为矩阵，为矩阵为矩阵.证明：
其中为的零矩阵