线代24春期中试题 zh 发布版
- (共15分，每小题3分)选择题，只有一个选项是正确的.
(1) 假定
若线性相关，则的取值为
(2) 设 为一个实矩阵, b 为一个维实列向量, 以下说法一定是 正 确 的是?
若无解，则只有零解.
若有无穷多解，则有无穷多解。
若,则和都有无穷多解。
若的秩为,则只有零解.
(3) 如果以下线性方程组有两个自由变量
的取值为
(4) 设 以下说法错误的是？
如果和为满足的非零向量，则和线性无关.
如果和正交，则
当且仅当 or .
当且仅当 or .
(5) 设和都为阶矩阵.以下说法错误的是？
如果为对称矩阵，则也为一个对称矩阵。
如果 为可逆矩阵，则 也为一个可逆矩阵.
如果为置换矩阵，则也为一个置换矩阵.
如果为上三角矩阵，则也为上三角矩阵.
- (20 points, 5 points each) 填空，共4题。
(1)
(2)设为一个的实矩阵，为 如果矩阵的秩为 2,则的秩为.
(3)
(4)考虑以下线性方程组：
该线性方程组的最小二乘解为
- (10points)设
求矩阵的一个分解
- 考虑以下 4× 5 矩阵 A 以及 4 维列向量 :
(a)分别求矩阵 的四个基本子空间的一组基向量。 (b)求的所有解.
- (20 points)设 Let 为按照以下方式定义的从 到 线性变换：
其中表示所有实矩阵构成的向量空间. (a)求在以下有序基
下的矩阵表示. (b)求一个矩阵使得
(c)求一个矩阵使得
- (5 points) 设为满足和的阶实矩阵.证明：如果,则其中O 表示阶零矩阵。
- (6 points)设为 3矩阵，B 为 2矩阵，并且